[NOIP2007]树网的核

Posted by Panda2134's Blog on March 18, 2018

BZOJ-1999

题意

给出一棵树,求一条路径使得树上点到它的距离的最大值最小。
$n \leq 300000$.

思路

好题。 很早就看到过这个题目了,除了暴力没有任何思路……
今天学习了一下题解,发现还是很巧妙的。
Vmurder的题解

树的直径的性质

树的直径有什么性质呢?回顾一下两次 DFS 找树的直径的过程,我们可以得到以下的性质:
1. 树上的任何一个点的最远点,一定是某条直径的端点。
2. 所有直径中点过定点。

分析

我们可以证明,最优选定路径一定在某条直径上。 (如果证明有问题欢迎留言= =) 这需要分2种情况讨论。我们采用反证法。

  1. 选定的路径与直径不相交。这时我们需要证明选定路径不是最优的。如图,$<a, b>$ 为直径,$<c,d>$ 为选定路径。我们发现,如果 $c$ 左侧有点 $c’$, $d$ 右侧有点 $d’$, 那么一定有 $\vert fc’ \vert < \vert af \vert$ ;对 $d$ 而言也有 $\vert fd’ \vert < \vert fb \vert$,也就是说把选定路径长度不变地移动到直径 $ab$ 上,且盖住 $f$,答案只会更好。
    CorePic1
  2. 路径与直径有部分重合(自然也包含全部重合的情况)。如图。
    在这种情况下,由直径的性质可知 $\vert be \vert \ge \vert de \vert$, 于是把 $\vert ed \vert$ 一段移动到 $\vert eb \vert$,答案不会更差。
    CorePic2 于是命题得证。
    我们再证明,即使存在多条直径,最优解也满足上述性质。
    不失一般性,我们分析2条直径,且树的中心在边上的情况。
    于是一定有 $\vert ap \vert = \vert a’p \vert, \vert bq \vert = \vert b’q \vert$. 不妨称之为性质3. 显然,由于$\vert pa’ \vert \le \vert pb \vert, \vert qb’ \vert \le \vert qa \vert$ ,红色和黄色的路径都不会是最优解。而对于绿色路径,由于直径的性质3,取在哪条直径都一样。于是得证。 CorePic3 ———————————-

证明了上述的定理,我们就可以设计主算法了:

  1. 2次BFS找出直径。这对于带有任意非负权值的树都成立!!!
  2. 显然贪心地取得最大可行长度的路径,答案不会更差。于是用 two-pointers 从直径的一端向另一端扫。如图。引用chrt学姐的一句话:

    换一种看待树的方式,把直径横着,其他点挂在下方。(就像架子上的葡萄~)

CorePic4 然后每次在满足长度限制的条件下尽量扩展 R 指针,每次扩展到不能再扩展之后,用L左侧的最大距离、R右侧的最大距离, $[L, R]$ 区间内最大距离更新答案。前两者可以线性递推,第三个类似滑动窗口,直接用单调队列更新即可。

一点吐槽

  1. 一定要记住,两次BFS找出直径,对于带有任意非负权值的树都成立……今年的冬令营第一题的44分送分里面就用了这个。我以为这个只对于无权的树成立,然后不知道怎么办。忽然想起来前几天看的点分治,然而根本没写过,当场yy怎么写……然后T2的送50分就没调出来……出考场之后,cxy神犇跟我说,我才发现……囧rz
  2. 第一次看到这个加强版是在chrt的某个NOIP模拟赛里面……这个题目其实就是[SDOI2011]消防……那场模拟赛第一题是[SDOI2010]地精部落……emmmmmm,难度略高于某些年份的NOIP。 Huaji

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define max3(x, y, z) max((x), max((y), (z)))
using namespace std;
const int MAXN = 1e6, INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
	int u, v, len, next;
};

int N, S, A, B, e_ptr = 1, head[MAXN+10]; Edge E[(MAXN+10)<<1];
int d[MAXN+10], p[MAXN+10]; bool vis[MAXN+10], Diameter[MAXN+10];
int Hd = 1, Tl = 0, Maxv[MAXN+10], MaxL[MAXN+10], MaxR[MAXN+10], MQ[MAXN+10];
vector<int> vec;

void AddEdge(int u, int v, int len) {
	E[++e_ptr] = (Edge) { u, v, len, head[u] }; head[u] = e_ptr;
}

void AddPair(int u, int v, int len) {
	AddEdge(u, v, len); AddEdge(v, u, len);
}

void BFS(int st) {
	queue<int> Q;
	memset(d, -1, sizeof(d));
	memset(p, 0, sizeof(p));
	Q.push(st); d[st] = 0;
	while(!Q.empty()) {
		int u = Q.front(); Q.pop();
		for(int j=head[u]; j; j=E[j].next) {
			int v = E[j].v, len = E[j].len;
			if(d[v] != -1) continue;
			p[v] = j, d[v] = d[u] + len; 
			Q.push(v);
		}
	}
}

void DFS(int u) {
	vis[u] = true;
	for(int j=head[u]; j; j=E[j].next) {
		int v = E[j].v, len = E[j].len;
		if(vis[v] || Diameter[v])
			continue;
		DFS(v);
		Maxv[u] = max(Maxv[u], Maxv[v] + len);
	}
}

inline int readint() {
	int f=1, r=0; char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) { if(c=='-')f=-1; c=getchar(); }
	while(isdigit(c)) { r=r*10+c-'0'; c=getchar(); }
	return f*r;
}

void Init() {
	int u, v, w, MaxP, MaxV;
	N = readint(); S = readint();
	for(int i = 1; i <= N-1; i++) {
		u = readint(); v = readint(); w = readint();
		AddPair(u, v, w);
	}

	BFS(1); MaxP = MaxV = 0;
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		if(MaxV < d[i]) {
			MaxV = d[i];
			MaxP = i;
		}
	B = MaxP;

	BFS(B); MaxP = MaxV = 0;
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		if(MaxV < d[i]) {
			MaxV = d[i];
			MaxP = i;
		}
	A = MaxP;
}

void PushMQ(int pos) {
	while(Hd <= Tl && Maxv[vec[ MQ[Tl] ]] <= Maxv[vec[pos]])
		--Tl;
	MQ[++Tl] = pos;
}

void PopMQ(int pos) {
	if(MQ[Hd] > pos) return;
	assert(MQ[Hd] == pos);
	++Hd;
}

void Work() {
	int L, R, Len, Ans = INF; L = R = Len = 0;
	for(int u = A; u != B; u = E[p[u]].u) {
		Diameter[u] = true; vec.push_back(u);
	}
	Diameter[B] = true; vec.push_back(B);
	// Init Maxv
	for(int t = 0; t <= vec.size()-1; t++) {
		int u = vec[t];
		for(int j=head[u]; j; j=E[j].next) {
			int v = E[j].v, len = E[j].len;
			if(Diameter[v]) continue;
			DFS(v); Maxv[u] = max(Maxv[u], Maxv[v] + len);
		}
	}
	// Init MaxL
	MaxL[A] = 0;
	for(int t = 1; t <= vec.size()-1; t++) {
		int u = vec[t];
		MaxL[u] = max(MaxL[vec[t-1]], Maxv[vec[t-1]]) + E[p[ vec[t-1] ]].len;
	}
	// Init MaxR
	MaxR[B] = 0;
	for(int t = vec.size()-2; t >= 0; t--) {
		int u = vec[t];
		MaxR[u] = max(MaxR[vec[t+1]], Maxv[vec[t+1]]) + E[p[u]].len;
	}
	// Two-Pointers
	PushMQ(0);
	for(; (R+1) <= vec.size()-1 && Len + E[p[ vec[R] ]].len <= S; R++)
		PushMQ(R+1), Len += E[p[vec[R]]].len;
	while(true) {
		// update ans
		Ans = min(Ans, max3(MaxL[vec[L]], MaxR[vec[R]], Maxv[vec[MQ[Hd]]]));
		if(R == vec.size()-1) 
			break;
		else {
			Len -= E[p[ vec[L] ]].len; 
			PopMQ(L);
			++L; 
			if(L >= vec.size()) break;
			for(; (R+1) <= vec.size()-1 && Len + E[p[ vec[R] ]].len <= S; R++) 
				PushMQ(R+1), Len += E[p[ vec[R] ]].len;
		}
	}
	printf("%d", Ans);
}

int main() {
	Init(); Work();
	return 0;
}